FM-Synthese

Frequenzmodulation

Prof. John Chowning erforschte ab 1967 an der Stanford University das aus der Nachrichtentechnik und dem Rundfunk bekannte Verfahren der Frequenzmodulation als Prinzip für musikalische Klangsynthese. Seine Beobachtung war, daß bei der Modulation zweier Sinusschwingungen extrem obertonreiche Spektren entstehen können

So entsteht das erste rein digital realisierte Klangsynthese-Verfahren. Im Verhältnis zu den extrem aufwendigen analogen subtraktiven Synthesizern, die für jede Stimme eigene Oszillatoren, Filter, Verstärker, LFOs, etc. benötigen, ist die Frequenzmodulation geradezu spartanisch: ein später "Operator" genanntes Modul besteht aus einem Oszillator, der einen zweiten moduliert. Selbst als dieses Modell mit einem eigenen Verstärker und Hüllkurvengenerator ausgestattet wurde, blieb es, gemessen an der Komplexität der resultierenden Klänge immer noch recht einfach.

Da die Oszillatoren auf ein festes Verhältnis zueinander gestimmt werden können und Anfangs ausschließlich Sinuswellen zum Einsatz kamen, konnten solche Operatoren schon in den siebziger Jahren in Digitalrechnern realisiert werden. (Somit ist die FM-Synthese auch die erste Software-basierte Syntheseart)

Yamaha kauft 1973 alle Patente an diesem Verfahren. An die Experimente von Chowning anknüpfend, wurden anfangs 4 solcher Operatoren in 8 möglichen Verschaltungen, den sogenannten "Algorithmen" verknüpft, z.B. im ersten Musikcomputer, dem CX5M.

Ein Yamaha Operator besteht aus den Modulen Phasengenerator (PG) (Tonhöheninformation), Operator (OP) und Hüllkurvengenerator (EG/EC).

Je nachVerknüpfung der Operatoren, dem sogenannten Algorhithmus kann ein Operator allerdings entweder als "Modulator" eines folgenden Operators oder als bereits modulierter "Carrier" (Träger) auftreten.

Die resultierende Schwingung eines Operators der als Modulators arbeitet ist nicht hörbar, da sie nur als Modulationssignal für einen folgenden Operator fungiert. Hörbar wird das resultierende Signal des oder der Carrier. Je nach Schaltung kann allerdings derselbe Operator mal Modulator und mal Carrier sein, was die Handhabung der FM-Synthese schwierig und komplex macht. Zudem sind die klanglichen Resultate mehrfacher Modulationen kaum voraussehbar. D.h. im Gegensatz zur subtraktiven Synthese existiert keine analytische Basis, eine experimentelle Herangehensweise bei der Klangprogrammierung ist quasi imanent.

Extrem obertonreiche Schwingungen entstehen durch die Kopplung mehrerer Operatoren in verschiedenen Algorhithmen genannte Verschaltungsmuster. Verschiedene Algorithmen bieten somit auch "Simulationen" unterschiedlicher Klangsynthese-Verfahren. Sind alle Operatoren parallel geschaltet, handelt es sich quasi um eine additive Synthese, sind alle in Reihe geschaltet, entstehen komplexe digitale Wellenformen.

Einzelne harmonische Obertöne können im Gegensatz zur additiven und subtraktiven Synthese nicht gezielt beeinflußt werden. Carrier (Träger) und Modulator können in gebrochenen Frequenzverhältnissen zueinander stehen (7:11, 13:9, etc.), was interessante nichtharmonische Klänge zur Folge hat, wie man sie für synthetische Glocken, Gongs und Trommeln benutzen kann. Wenn der Modulator die doppelte Frequenz wie der Träger besitzt, entstehen nur ungerade Obertöne (1,3,5,7,9, etc.). Beispiele für Frequenzverhältnisse zwischen Modulator und Carrier (frequency ratio).

Bei einem Carrier ( C ) -Modulator (M) Verhältnis von z.B. 800 Hz : 200 Hz (4:1) entstehen die folgenden Seitenbänder im Obertonspektrum in Abhängigkeit des Algorithmus: C+M 1000Hz, C+2M 1200 Hz, C+3M 1400 Hz, usw., C-M 600 Hz, C-2M 400 Hz, C-3M 200 Hz, usw. Der Modulationsindex (I) ist verantwortlich für die Bandbreite des resultierenden Klangspektrums. Die Bandbreite ergibt sich aus dem Verhältnis zwischen der Modulationsfrequenz (M) und der Modulationstiefe ( D). Daraus folgt die grundsätzliche Formel I=D/M. Ist der Modulationsindex größer als Null, entstehen um die Grundfrequenz in Abhängigkeit der Modulationsfrequenz spezifische Seitenbänder bei sinkender Amplitude der Trägerfrequenz.

Die Modulationtiefe und damit auch der zeitliche Ablauf der Modulation eines Operators durch einen vorgeschalteten, wird über dessen Hüllkurve gesteuert, die somit eine Doppelfunktion erhält. Arbeitet der Operator im jeweiligen Algorithmus als Carrier, regelt die Hüllkurve den Lautstärkeverlauf des resultierenden Klanges. Arbeitet er allerdings als Modulator, steuert die Hüllkurve die Modulationstiefe in der Zeit des oder der nachgeschalteten Operators(en). Somit ergeben sich auf der Seite der Frequenzmodulation ein in der Zeit extrem variables Klangverhalten (mindestens 5 Operatoren als Modulatoren mit je eigener Hüllkurve!), das wesentlich stärker auf den resultierenden Klang wirken kann als bei subtraktiven Modellen. Diese Eigenschaft der FM-Synthese gepaart mit der Möglichkeit diese Parameter über die Anschlagsdynamik zu steuern machten 1984 einen großen Teil des Erfolgs des ersten kommerziellen FM-Synthesizers, den Yamaha DX7 aus, der ein sehr ausdrucksstarkes Spielen der Klänge ermöglichte.

Der DX 7 war nicht nur der erste digitale, sondern auch der erste über Midi programmierbare Synthesizer. Seine Oberfläche ohne Regler, Potis und Schalter, dafür mit einer Folientastatur und einem Mini-Display ausgestattet, mutete geradezu futuristisch an. Die Speicherbarkeit und absolut identische Reproduktion sämtlicher Klangparameter, wie sie mit einem analogen Synthesizer unmöglich ist, war ebenso attraktiv wie die Möglichkeiten mit einem Blaswandler und verschiedenen Stimmungssystemen zu arbeiten. Aufgrund der komplexen Klangsynthese machten sich allerdings nur wenige die Mühe eigene Sounds zu programmieren. Dafür entstand zum ersten Mal ein Markt für fertige Sounds.

In späteren Modellen kamen nicht nur Sinuswellen in den Oszillatoren zum Einsatz, sondern auch andere, obertonreiche Wellenformen, bei dem Yamaha SY99 sogar Samples, was das Verhalten der FM-Algorithmen nicht nur mathematisch stark verkompliziert und daher umstritten ist. Der resultierende Klang ist im wesentlichen immer abhängig vom Modulationsindex und der Modulationsfrequenz. Außerdem wurden die Operatoren mit Feeddback ausgestattet. Bei dieser "Selbst-FM" moduliert die Ausgangsfrequenz sich selbst. Dadurch entstehen Rechteck- und Sägezahn-Wellenformen.

Folgende wichtige FM-Synthesizer wurden bis Oktober 2000 von Yamaha gebaut:

1980 CX5M: 4 Operatoren, 8 Algorithmen, 8 Bit Wandler

1984 DX7: 6 Operatoren, 32 Algorithmen, 12-Bit Wandler bei 28 kHz, 1 LFO gesamt

1987 DX7II: 6 Operatoren, 8 Stimmen, 16 Bit Wandler, 1 LFO pro Stimme

1988 DX7IID: Split-Sounds oder Layering von 4 Stimmen (zwei DX7)

1990 SY99: AFM: Advanced Frequency Modulation: 16 Stimmen, 6 Operatoren mit Feedback, 16 versch. Wellenformen pro Operator, 46 Algorithmen, Pitch-Hüllkurven, Level Scaling, 2 Filter (Hoch-, Tief-, Bandpass), Samplesektion (AWM; Advanced Waveform Modulation), Split- und Layer-Möglichkeiten, Sounds können aus bis zu 4 unabhängigen FM-Strängen und/oder Kombinationen aus AFM und AWM (samples und FM-Sounds additiv gemischt) bestehen, Effekte (2 x Spx 900), 16 Spur Sequencer, usw.

2000 FS1R: 8 Operatoren, Samplesektion, Formantfilter, umfangreiche Effekte

Zu jedem dieser Geräte gab es Nebenmodelle mit unterschiedlichen Ausstattungsmerkmalen; vom DX 9 bis zum DX 21, etc.

FM-Synthese bei Casio

Casio benutzte in den 80er Jahren ein ähnlichers Verfahren, welches aufgrund der Lizenzsituation aber umbenannt werden mußte: in PhaseDistortion (PD), später InteractivePhaseDistortion (iPD). Acht verschiedene digitalisierte Wellenformen (Rechteck, Sinus, Dreieck, Rauschen, etc.) werden mit variablen Speicherabtastraten ausgelesen. Das Ergebnis wird auch hier zur Modulation des nächsten hier "Modul" genannten Operators genutzt. Ein Casio Modul besteht aus einem DCO (digital controlled oszillator) und einem DCA (digital controlled amplifier; digitale, hier sehr aufwendige Hüllkurvengeneratoren). Allerdings gibt es 8 Module, die völlig frei miteinander verschaltet werden können, wobei neben Feedback auch Ringmodulationen zwischen den paarweise verschalteten Modulen möglich sind. Waren die Modelle VZ-1 und VZ-10m auch extrem aufwendig und unhandlich in der Programmierung, galten sie aufgrund ihrer vielfältigen klanglichen Möglichkeiten und dem graphikfähigen Display lange als die "besseren DX 7".

Theorie der FM-Synthese

1 Teiltonspektren (Wellenformen)
Die FM-Synthese basiert auf der berechenbaren Modulation eines Oszillators (carrier) durch einen zweiten (modulator) in einem definierten Frequenzverhätlnis.

FM-Synthese in Max

Bei ganzzahligen Frequenverhältnissen entstehen dabei harmonische, bei unganzzahligen unharominsche Teiltonspektren.

Die Bandbreite des Teiltonspektrums (Anzahl der Seitenbänder) hängt davon ab, wie groß die Amplitude des Modulators ist. Wir gehen hier grundsätzlich von Oszillatoren
mit Sinusschwingungen aus.

Für die Berechnung des Spektrums dient folgende Formel, wobei c die Verhältniszahl des Carriers, m diejenige des Modulators ist und k die Variable für 0,1,2,…n,. n ist die Anzahl der entstehenden Seitenbänder (abhängig von der Amplitude des Modulators).

c ± km

Nehmen wir für c zu m das Verhältnis 1 zu 2 an (entsprechend dem obigen Beispiel) und berechnen die ersten vier Seitenbänder:

Die negativen Zahlen bedeuten, dass diese Teiltöne phasenverschoben sind. Da dies akustisch im Normalfall keine Rolle spielt, können wir die negativen Vorzeichen einfach
vergessen. Wir erhalten also ein Spektrum, das die ungeraden Teiltöne enthält, (was der oben dargestellten Rechteckschwingung entspricht).
Nehmen wir als Beispiel für ein unharmonisches Spektrum c = 1 zu m = 1.6

Differenzen zwischen zwei Tonhöhen, die kleiner sind als 16 Hz, hören wir als Schwebungen. Solche Schwebungen können wir erreichen, indem wir zwei Paare von Carrier
und Modulator nehmen und diese leicht gegeneinander verstimmen. Es geht aber auch einfacher: Es genügt den Modulator unseres ersten Beispiels leicht zu verändern.

Das ergibt für c = 1 und m = 2.01

Nehmen wir einen Grundton von 220 Hz (a) an dann ergibt das:

1. Teilton 220 und 222.2 Hz
3. Teilton 662.2 und 664.4 Hz
5. Teilton 1104 und 1106 Hz
etc.

Wir erhalten also einen Klang, welcher in sich Schwebungen enthält.

Klangfarbenveränderung

Erinnern wir uns: die Anzahl der Teiltöne ist abhängig von der Amplitude des Modulators. Diese Amplitude können wir z.B. durch einen Envelope Generator (Hüllkurven-generator) beeinflussen und so die Klangfarbe ohne den Einsatz eines Filters und z.T. auch auf andere Weise verändern. Nehmen wir als letztes Beispiel ein Verhältnis von
Carrier zu Modulator von 3 zu 1.

Lassen wir die Amplitude des Modulators bei diesem Beispiel langsam ansteigen, kommen zum Ausgangston zunächst je ein Ton eine Quart höher und eine Quint tiefer,
dann je ein Ton eine große Sext und eine Terdezime tiefer etc. hinzu. Das Spektrum erweitert sich also sowohl in die Höhe, als auch in die Tiefe.

Komplexe Modulation

Unter komplexer Modulation versteht man ein Setup mit mehr als einem Modulator. Bei 2 Modulatoren m1 und m2 lautet die Formel für die Berechnung der Teiltöne:

c ± k1 m1 ± k2 m2

entsprechend umfangreich werden die Berechnungen.

Nicht berücksichtigt sind in dieser Zusammenfassung die Amplituden der Seitenbänder. Diese lassen sich nach einer Funktionskurve (Besselfunktion) berechnen, resp. aus
einer entsprechenden Tabelle ableiten.

Literatur:

Fussnoten:

*1: